Crises de mathématiques ou des logiques?

Discussion autour de la thématique de la Crise des Mathématiques modernes et postmodernes

“Les mathématiques peuvent etre definies comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle ni si ce que l’on dit est vrai” Bertrand Russell

Monsieur, -J’ai démontré le cinquième postulat d’Euclide. Donc la relativité d’Einstein est rejetée avec les géométries non-euclidiennes. Vous devez tirer les conséquences.

-Je pense, cher monsieur, que vous devriez vous interesser plus aux fondamentaux et à l’histoire des mathématiques postmodernes. Toutes les mathématiques,leu nature rationnelle et leur nature de sciences exactes proviennent de la rigueur des logiques et des raisonnements qu’on y applique; La Géometrie n’est pas que l’affaire de construction de lignes et de demonstrations de figures geometriques.A une époque donnée, l’on jugeait inconcevable que deux lignes parallèles puissent constituer un plan; aujourd’hui, le bon sens et l’evolution des mathématiques l’admettent. Il ‘y a une relation directe entre les logiques formelles, à la base les logiques d’aristote, puis après de BOOle, etc aux logiques modernes. Je vous rappelle que les logiques analytiques seraient apparues à la faveur de la problématique du solutionnement du cinquième postulat d’euclide qui soi disant passant soutenait que etant donné une droite donnéé,et un point du plan, on ne peut mener qu’une droite parallèle par ce point à la droite de referrence. Ce postulat ,le terme postulat je vous rappelle est du ressort de la logique encore une fois, d’euclide a été justement remis en cause par les pères fondamenteurs des logiques analytiques, godel, entre autres. Les geometries non euclidiennes seraient ainsi apparues à la suite de cette problématique. je continuerai ce débat prochainement.

N .B : De geo (la Terre, l’espace )et metrie (la mesure, la quantification, le metrics, ;;),on definirait la geometrie comme la science mathématique qui se penche sur l’étude des propriétés et des relations dans le champ de l’espace,étude basée sur des postulats,des definitions,des grandeurs, et des representations spatiales ainsi que des figures géometriques et leurs relations.

Monsieur, -Les mathématiques modernes, postmodernes et contemporaines sont sans fondements et sont erronées. Donc il n’est raisonnable de m’inviter à patauger dans la mer des illusions. Vous devez lire et approfondir les tentatives de Saccheri et Lambert au 18ème siècle pour comprendre comment leur échec a conduit Bolyai, Lobachevsky et Gauss à la géométrie hyperbolique , et conduit plus tard Riemann à la géométrie elliptique. Ces deux géométries sont non-euclidiennes et construites sur des définitions arbitraires et pleines de failles. La géométrie vraie est celle qui démontre son théorème de base qui se rapporte à la relation entre deux lignes droites dans la surface plane coupées par une troisième droite appelée sécante ou transversale. Les mathématiciens qui essayèrent de saisir cette relation ont échoué parce qu’ils n’ont pas compris la nature de la ligne droite. Donc, si vous voulez engager un débat, il faut commencer par le quadrilatère connu sous le nom de Saccheri et appliquer correctement les principes de la géométrie. Quant à la logique je vous invite à méditer la citation de Hermann Weyl : «Logic is the hygiene the mathematician practices to keep his ideas healthy and strong» Votre assertion suivante : « La Géometrie n’est pas que l’affaire de construction de lignes et de demonstrations de figures geometriques. » N’est pas pour l’honneur de la géométrie, car celle-ci est la science fondatrice de la mathématique et de toutes les sciences. Son rôle est de démontrer les vérités éternelles à partir d’axiomes vrais et évidents en étudiant les figures dans l’espace à trois dimensions pour y trouver les relations universelles et immuables de l’ordre et de la mesure. Le terme Postulat est une demande de construction et ne concerne que la géométrie. Je vous rappelle que la géométrie démonstrative naquit 300 ans avant Aristote et avant sa logique formelle. Je vous conseille vivement de lire l’histoire de la géométrie grecque. Encore une fois je vous dis que les géométries non-euclidiennes sont nées au moins 100 ans avant Gödel et la logique analytique. Une fois de plus je vous urge de lire l’histoire de la géométrie et de la mathématique durant toutes les époques avant d’émettre des opinions qui contredisent l’histoire de la mathématique. Dommage que les géométries non-euclidiennes induisent en erreur le plus précieux don que Dieu fait à l’homme, à savoir la raison.

 - Laisser moi faire une certaine mise au point : D’abord, en affirmant que la géometrie n’est pas une affaire de construction geometrique,allusion à ma citation, je ne pretends nullement faire deshonneur à la geometrie. Aujourd’hui, toute la question autour des mathématiques et surtout la géometrie, c’est de savoir dans quelle mesure celle ci decrit fidèlement ou pas la réalité et en quoi l’influence phenomenologique de l’esprit au travers de la construction mentale intervient. Et pour ce qui est de vos arguments, ils ne font point office de preuves necessaires et suffisantes. La citation sur la logique avancée par ce logicien et mathématicien ne constitue en rien une opinion tangible et indiscutable; ce n’est qu’un avis.La citation n’est qu’une illustration d’une idée. Ensuite, je vois mal sur quels arguments concrets en dehors des principes formels et classiques des géometries héritées du passé pourriez vous avancer contre les fondements des mathématiques et des logiques modernes et post-modernes.Vous affirmez d’emblée que ces mathématiques et logiques seraient infondées sur des bases qui sont toujours en débat chez les mathématiciens contemporains. L’affaire sur ce sujet n’est pas tranchée complètement. Ensuite, je ne suis pas sans savoir que très vite la geometrie a pris son indépendance sur la philosophie et ceci à travers l’histoire dela philosophie qu’on a tous appris en classe terminale dans les débuts à l’initiation à celle ci. Mais là je voudrais attirer votre attention que la logique et la géometrie tissent des liens étroits.L’un ne saurait s’établir sans le concours de l’autre.J’irai meme loin la Logique aurait devancé les sciences si l’on en juge par le contenu de cet article qui sous-entend l’apparition première de logique avant le fondement veritable des Sciences telles qu’on les a apprises apparemment selon les opinions de Leibniz,Godel .Et, en quoi sommes nous tenus de tenir pour vrais les principes logiques de la géometrie classique comme absolus? Je vous rappelle que ces principes passent pour evidents dans la mésure ou on part du principe qu’ils seraient conformes à la raison et au bon sens;On les a consideré comme vrais comme tels sans vraiment demontrer en quoi ils sont vrais. Le postulat, l’axiome, etc sont choses admises comme vrai mais en aucune manière ils ont fait l’objet de preuves absolues.Et l’argument ontologique contraignit à faire admettre qu’à moins d’admettre une infinité de possibiltés voire de causes à effet à l’infini,il fallait partir de principes dits naturels dit-on à l’origine qu’on disait conforme à la raison et au bon sens,pour de ce faire aboutir à l’etablissement d’un processus de raisonnement. J’ai une citation fameuse pour vous ,trois à vrai dire,également ” “ God himself made the whole numbers: everything else is the work of man”. – Leopold Kronnecker “It is not certain that everything is certain” Blaise Pascal “La science est une théologie qui s’ignore”, Jean Pierre Dupuis, polytechnicien, philosophe français. Vous voyez dans les mathématiques, les fondements ne sont guère absolues certitudes. Je vois mal alors en quoi vous pretendez faux au sujet des mathématiques modernes et postmodernes. Et, j’ai oublié d’ajouter ceci concernant les fondements et l’origine des sciences géometriques. Rappelez vous que les premiers géomètres grecs ontséjourné en Egypte antique.Ils y ont été initiés la bas y compris pythagore,à qui on associe l’invention du terme “philosophie”. Et, en egypte, les sciences des nombres et des lignes sont intimement liées au culte et au symbolisme. Les préceptes de la géometrie originelle trouvent selon certains specialistes leur origine en Egypte, chez les pretres et mathématiciens de ce temps, d’autres avancent qu’il est le fruit d’observation empirique, d’autres enfin parmi les modernes soutiennent que ceci serait issu d’un esprit de vision.Lisez ce que en pense Grothendick à ce sujet. Ce sont tout ça qui font craindre que la certitude en la matière de façon absolue reste problématique; En plus, songez à la philosophie de Emmanuel Kant et sa critique de la Raison Pure. Par ailleurs, pour revenir, à votre pretendue comprehension de la droite, jusqu’à au collège, on avait l’habitude d’enseigner que une droite est une infinité de points alignés. Contrairement à un segment qui est borné, la droite partirait d’un point donné et s’etendrait à l’infini. Et justement, jusqu(ou il faudrait apprehender la notion d’infinie. L’origine des mathématiques modernes et postmodernes fait echo à la problématique de l’infinie à la fois dans les mathématiques théoriques (les theories des nombres et des ensembles” et le domaine de la representation mathématique. Les plus grands mathématiciens du 19eme 20eme siècle ont mis en cause la realité d’une infinité d’etendue . Je ne vous apprend rien à ce sujet.Et c’est de leurs travaux d’ailleurs que les crises des mathématiques modernes versus classiques seraient apparues Monsieur, -Vous auriez mieux fait de travailler sur la réfutation de la démonstration d’IBN AL HAITHAM sur la page 1 du forum de mon site : www.mathtruth-rachidmatta.com. Vous verrez vous-même que le contenu de votre présent e-mail s’évapore comme un nuage d’été. Allez au cœur du problème et laissez tomber les écorces. Je commente vos citations. 1 – La citation de Kronecker « God himself made the whole numbers: everything else is the work of man.», prouve que ce que Dieu a fait est exact et tout le reste c’est-à-dire toutes les mathématiques modernes sont fausses et pleines de contradictions. 2 – “It is not certain that everything is certain” Blaise Pascal Si Pascal avait bien saisi la nature exacte de la ligne droite il aurait vite compris que la géométrie est une science certaine et peut-être il aurait pu démontrer le cinquième postulat d’Euclide. 3 – “La science est une théologie qui s’ignore”, Jean Pierre Dupuis, polytechnicien, philosophe français. Seule la science mathématique est une métaphysique et la géométrie est une théologie, car son principe d’extension, le point, est le plus proche de l’UN. Mais cette théologie s’ignore pour les non géomètres qui ne savent être parfaits comme leur père céleste pour géométriser avec lui ; Quant aux autres sciences, elles reçoivent leurs principes de la mathématique et seront ses applications dans l’espace du monde réel de la physique qui a trois dimensions. Ce sont des sciences expérimentales et elles n’ont rien à voir avec la théologie. M. Jean Pierre Depuis n’a donc saisi la nature exacte de la géométrie comme, d’ailleurs, tous les penseurs non-euclidiens. Ça vous dérange que j’attaque tout le monde, mais c’est la vérité, et sa loi est impitoyable. N’oubliez pas d’examiner le quadrilatère de Saccheri pour constater que tous les mathématiciens, logiciens et philosophes modernes, postmodernes et contemporains se sont trompés, car ils n’ont pas cherché les principes de la géométrie dans leur Unique origine: DIEU.

-D’une chose, je ne vous ai point demandé de commenter sur ces citations.Je vous ai donné ces citations comme exemples pour vous dire ce que valent les citations:Leur autorité ne vaut que ‘autorité de leurs auteurs;en aucune manière, je les avance pour preuves, juste pour vous dire que les citations ne sont pas des preuves; De deux(choses), vous semblez avoir mal interpreté ces citations. Celui de Kronecker, vous le commentez hors contexte à mon hmble avis. Par cette citation, il voulait attirer l’attention sur la problematique de la certitude absolue dans les sciences mathématiques et ses propos tendent à relativiser la verité mathématique comme une absoluté. Si les nombres relatifs sont de l’ordre de l’ihumain, tout le reste l’est et en celà le reste peut etre objet de débats.Pour blaise pascal, rien n’est verité absolue, tout peut faire l’objet de débats; pour jean pierre, dupuis, c’est la reference aux fondements des principes mathematiques qui tendent au travers des crises des mathématiques modernes sur le plan theorique à y voir une forme d’ontologie et de phenomelogie. Et toutes les sciences humaines ne se basent pas uniquement sur des methodologies heritées des mathématiques comme vous le pretendiez. Enfin, pour vous amener à un auteur plus contemporain, sur le lien entre logique, intuition, pensée, representation, je vous invite vivement à lire ce que en dit henry bergson et son intuitionisme. Lisez aussi la Pensée et le Mouvant. Ceci ne me derange pas que vous critiquiez les choses; au contraire,j’apprécie l’esprit de contestation duquel souvent debouche la verité.

texte en appui (9):

[1] l Auteur

l Les Éditions AGONE

l Naissance de la

sociologie

l Essais II. L’époque, la

mode, la morale, la

satire

l Essais III. Wittgenstein &

les sortilèges du langage

l Essai IV. Pourquoi pas

des philosophes ?

l Essai V – Descartes,

Leibniz, Kant

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II-Logique et mathématique

p. 141-165

Utopie et réalité : Leibniz, Gödel et les possibilités

de la logique mathématique

Essai V – Descartes, Leibniz, Kant – Jacques Bouveresse

Plan | Texte | Notes | Note de fin | Citation

1. La référence leibnizienne chez Gödel

2. La question des fondements et le problème de l’invention

mathématique

3. Le programme leibnizien et la question des « limitations internes »

des formalismes

Plan

1. La référence leibnizienne chez Gödel

Texte intégral

Dans « Russell’s Mathematical Logic » (1944), Gödel distingue deux aspects

fondamentaux différents de la logique : « La logique mathématique, qui

n’est rien d’autre qu’une formulation précise et complète de la logique

formelle, a deux aspects tout à fait différents. D’un côté, elle est une

section des mathématiques traitant de classes, relations, combinaisons de

symboles, etc., au lieu de nombres, fonctions, figures géométriques, etc. De

l’autre, c’est une science, antérieure à toutes les autres, qui contient les

idées et les principes sous-jacents à toutes les sciences. C’est dans ce

deuxième sens qu’elle a été conçue en premier lieu par Leibniz dans sa

Characteristica universalis, dont elle aurait formée une partie centrale. Mais il

a fallu presque deux siècles après la mort de Leibniz pour que cette idée

d’un calcul logique réellement suffisant pour le genre de raisonnement qui

apparaît dans les sciences exactes soit mise en oeuvre (tout au moins sous

une certaine forme, sinon sous la forme que Leibniz avait en tête) par

Frege et Peano. » [PM, 447]

1

Leibniz a, bien entendu, apporté une contribution tout à fait déterminante

au premier aspect. Et il est même le premier à avoir reconnu tout à fait

clairement qu’on peut proprement calculer sur bien autre chose que des

nombres et qu’il peut par conséquent y avoir une mathématique non

seulement des nombres, mais également des concepts, des propositions,

des classes et de bien d’autres choses. Mais, même si l’essentiel de la

recherche en logique mathématique est consacré aujourd’hui à cet aspectlà,

l’intérêt de Gödel, spécialement dans l’essai que j’ai cité, porte en fait

principalement sur le second aspect. Partant de Leibniz, il en arrive, en

passant par Frege et Peano, assez rapidement à Russell et il met alors

entre parenthèses presque toutes les considérations de détail qui ont trait

« au formalisme ou au contenu mathématique » des Principia Mathematica

pour se concentrer essentiellement sur « le travail de Russell concernant

l’analyse des concepts et des axiomes sous-j a c e n t s à l a l o g i q u e

mathématique » (ce qui, comme le remarque Hao Wang, aurait

probablement été un titre plus exact pour son essai). La façon dont il

procède dans cet essai donne certainement une idée exacte de ce qu’il

considère comme central dans la logique mathématique, telle qu’il la

conçoit, et également du degré auquel il prend au sérieux le projet

2

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leibnizien – y compris, ce qui est à la fois un peu difficile à comprendre et

assez déconcertant, pour ce qui est des vertus heuristiques tout à fait

prodigieuses que lui attribuait Leibniz.

Gödel a étudié Leibniz de façon assez systématique dans les années 1943-

1946, à un moment où il avait cessé pour l’essentiel de faire des recherches

dans la logique proprement dite et où, comme le dit Wang, son travail est

devenu plus philosophique que mathématique. On sait aussi que ses

papiers contiennent de volumineux cahiers de notes sur Leibniz et sur la

littérature consacrée à Leibniz. De tous les philosophes, c’est certainement

lui qui était à ses yeux le plus grand et qui l’a le plus influencé. Nous savons

qu’i l l’admirait d’une façon presque inconditionnelle et qui n’est pas

simplement celle que l’o n p o r t e à u n g r a n d a n c ê t r e h i s t o r i q u e : i l

considérait, en effet, comme tout à fait possible de remettre aujourd’hui en

chantier un grand programme de métaphysique rationaliste aussi ambitieux

que l’avait été le sien. D’a p r è s W a n g , « Gödel semble être d’avis que

Leibniz a considéré toutes les choses réellement fondamentales et que ce

dont nous avons besoin est de voir ces choses plus clairement » [RKG,

211]. Cela concorde tout à fait avec la tendance générale de Gödel à

considérer que deux ou trois siècles supplémentaires de philosophie n’ont

p r o v o q u é q u e d e s c h a n g e m e n t s r é e l l e m e n t m i n i m e s d a n s n o t r e

compréhension des choses fondamentales en philosophie et que la tâche

principale reste aujourd’hui comme hier de chercher à appréhender plus

clairement les concepts fondamentaux. Sur un point, il est d’accord avec

Newton, puisqu’il pense qu’i l d e v r a i t ê t r e p o s s i b l e d e f a i r e p o u r l a

métaphysique l’équivalent de ce que Newton a fait pour la physique, à

savoir trouver une « théorie axiomatique » correcte pour elle, au moins

dans ses grandes lignes. Sur un autre, il est d’accord avec Leibniz et l’est

notamment dans la compréhension que Leibniz a de la nature des concepts

physiques. Gödel a expliqué, du reste, que, s’il était parvenu à construire

un système philosophique, cela aurait été une forme de monadologie.

3

En ce qui concerne la philosophie, son attitude pose, comme le remarque

Wang, un problème difficile puisque, tout en proclamant sa confiance dans

les vertus de la méthode axiomatique, il est obligé en même temps

d’admettre qu’il n’a même pas réussi à déterminer ce que peuvent être les

concepts primitifs de la métaphysique et encore moins à trouver les bons

axiomes pour eux. Wang résume sa position en disant que « Gödel semble

vouloir continuer à partir de l’endroit où Newton et Leibniz se sont arrêtés,

et croire que le cours de l’histoire après le XVIIe siècle a régressé plutôt que

progressé, sauf pour ce qui concerne l’accroissement de l’information (mais

non de la compréhension réelle) en mathématiques, dans les sciences de la

nature (et dans certains autres domaines). Alors qu’il utilise la physique de

Newton comme modèle, sa sympathie philosophique va à Leibniz. Il n’est

pas satisfait de la compréhension que Newton a des concepts physiques,

mais souhaite continuer la tentative faite par Leibniz pour analyser plus

profondément les concepts physiques d’une manière telle que ceux-ci

soient fusionnés avec les concepts réellement primitifs de la métaphysique.

De ce fait, en particulier, il n’e s t p a s s a t i s f a i t d e s “fondements

métaphysiques” k a n t i e n s d e l a p h y s i q u e ( n e w t o n i e n n e , p l u t ô t q u e

leibnizienne) » [RKG, 165]. Le point crucial, bien sûr, est que l’entreprise de

Kant consacre à ses yeux le divorce regrettable de la physique d’avec la

métaphysique. Comme la plupart des représentants de la tradition

philosophique autrichienne, Gödel n’est pas impressionné par la révolution

que Kant est supposé avoir effectuée et par la façon dont elle a déterminé

pour une part essentielle l’orientation de la philosophie au cours du XIXe

siècle. Il pense que ce sont essentiellement les « préjugés de l’époque »

qui nous empêchent de reconnaître que l’on pourrait très bien essayer de

reprendre les choses à un stade antérieur.

4

Dans l’admiration que Gödel professait pour Leibniz, il y a quelque chose

qui confine par moments plus ou moins à la mythologie et même, semble-til,

à la mythomanie. Pendant la Deuxième Guerre mondiale, il était obsédé

par l’idée que certains des manuscrits de Leibniz risquaient d’être détruits

parce qu’on n’avait probablement pas fait le nécessaire pour les mettre à

l’abri. Il pensait même apparemment que certains avaient intérêt à ce qu’ils

soient détruits. En 1939, Karl Menger lui a demandé qui pourrait bien avoir

intérêt à ce que les écrits de Leibniz soient détruits. À quoi il a répondu :

« Naturellement, les gens qui ne veulent pas que les hommes deviennent

plus intelligents. » Et comme Menger lui avait objecté que Voltaire serait

probablement une cible plus plausible, il a rétorqué : « Qui est jamais

devenu plus intelligent en lisant les écrits de Voltaire ? » [RKG, 103] Gödel

semble avoir pensé qu’un bon nombre des idées et des écrits de Leibniz

avaient été en réalité déjà bel et bien été perdus, un peu comme l’a été la

démonstration par Fermat de son théorème – si toutefois il en avait

réellement une, ce dont beaucoup de mathématiciens doutent aujourd’hui.

Apparemment, Gödel croyait qu’en plus de ce que l’on sait d’eux les écrits

de Leibniz pourraient bien avoir recelé quelque trésor ou quelque secret,

peut-être aujourd’hui définitivement perdu, qui aurait rendu possible des

progrès spectaculaires dans la découverte mathématique elle-même et la

résolution des problèmes mathématiques.

5

À la fin de son essai sur « La logique mathématique de Russell », il revient

au problème de l’analyse des concepts fondamentaux et à Leibniz. En dépit

d e s p r o g r è s c o n s i d é r a b l e s q u i o n t é t é r é a l i s é s d a n s l a l o g i q u e

mathématique depuis les Principia Mathematica, « bien des symptômes,

écrit-il, ne montrent que trop clairement que […] les concepts primitifs ont

besoin d’être élucidés davantage. Il semble raisonnable de supposer que

c’est cette compréhension incomplète des fondements qui est responsable

du fait que la logique mathématique est restée jusqu’ici tellement en deçà

d e s a t t e n t e s é l e v é e s d e P e a n o e t d’autres qui (d’accord avec les

affirmations de Leibniz) avaient espéré qu’elle faciliterait les mathématiques

théoriques dans la même mesure que le système décimal des nombres a

facilité les calculs numériques. Car, comment peut-on espérer résoudre des

problèmes mathématiques de façon systématique par la seule analyse des

concepts qui y apparaissent si notre analyse jusqu’à présent ne suffit

même pas à établir les axiomes ? » [PM, 468-9]

6

G ö d e l p e n s e q u e l a l o g i q u e m a t h é m a t i q u e , a u d e u x i è m e d e s s e n s

distingués plus haut, devrait être une partie centrale de ce qu’était

supposée être la caractéristique leibnizienne. Mais, comme le remarque

Wang, il est pour le moins difficile de voir comment la logique

mathématique, telle qu’elle est pratiquée aujourd’hui, pourrait être étendue

de façon à fournir une méthode puissante (ou même simplement des

directives efficaces) pour de nouvelles découvertes mathématiques. Et

pourtant, c’est ce que Gödel semble bel et bien croire. Il donne l’impression

d’être à peu près aussi optimiste que l’avait été en son temps Leibniz sur

les possibilités du nouvel instrument qu’il avait mis au point, tout en

admettant par ailleurs que nous ne savons même pas réellement comment

nous y prendre pour commencer à le construire. Son idée semble être

qu’une fois que nous sommes arrivés aux bons axiomes nous pouvons

apprendre à appréhender également de façon appropriée les concepts

dérivés et approcher les problèmes de façon systématique. Wang avoue

qu’il ne voit pas les raisons que Gödel pouvait avoir de croire cela, et

j’avoue que je ne les vois pas non plus. Comme le note Wang, « par

exemple, le système standard incomplet de la théorie des nombres est

modérément adéquat, pour ce que nous en savons, pour la solution de la

plupart des problèmes dans ce domaine, mais ne semble offrir aucune

indication pour une quelconque méthode systématique de résolution des

problèmes. [Gödel] pense-t-il que c’est parce que les concepts ne sont pas

auto-suffisants [self-contained], compte tenu du fait qu’ils ne sont pas

suffisamment fondamentaux (peut-ê t r e c o m m e l e r é v è l e

l’incomplétabilité) ? » [RKG, 311]

7

Leibniz souligne qu’en même temps que les sciences se complexifient et

s’étendent par le haut (au niveau des superstructures) elles se simplifient

et se condensent par le bas (au niveau des éléments et des fondements).

« On peut même dire, écrit-il, que les sciences s’abrègent en s’augmentant,

[ce] qui est un paradoxe très véritable, car plus on découvre des vérités et

plus on est en état d’y remarquer une suite réglée et de se faire des

propositions toujours plus universelles dont les autres ne sont que des

exemples ou corollaires, de sorte qu’il se pourra faire qu’un grand volume

de ceux qui nous ont précédés se réduira avec le temps à deux ou trois

thèses générales. Aussi, plus une science est perfectionnée et moins a-telle

besoin de gros volumes car, selon que ses éléments sont suffisamment

établis, on y peut tout trouver par le secours de la science générale ou de

l’art d’inventer. » [PS VII, 180]

8

Il n’y a, effectivement, aucun doute sur le fait qu’une fois que nous

disposons des bons concepts, et plus encore des bons axiomes pour eux,

un grand nombre de questions qui ne l’étaient pas auparavant deviennent

généralement abordables et décidables de façon systématique. Mais, cela

étant, on peut se demander ce qui justifie l’optimisme de Gödel en ce qui

concerne le bénéfice que nous pouvons attendre de la recherche des

éléments dans la logique elle-même. Si le point crucial est de trouver des

notions plus fondamentales ou de nouveaux axiomes pour celles que nous

avons déjà, qui nous permettront de décider davantage de questions, il ne

donne guère d’exemple concret de ce que cela pourrait vouloir dire dans les

f a i t s . U n e x e m p l e m a t h é m a t i q u e a u q u e l i l a c c o r d e u n e i m p o r t a n c e

particulière est celui de la notion d’« ensemble ». Il se dit convaincu qu’il n’y

a pas lieu de renoncer à l’espoir de décider un jour l’hypothèse du continu

par l’adjonction d’axiomes supplémentaires pour la notion d’ensemble. En

ce qui concerne certains des nouveaux axiomes de l’infini qui ont été

proposés avec l’espoir de réussir à décider par ce moyen l’hypothèse du

continu, il remarque : « On peut démontrer que ces axiomes ont également

des conséquences bien au-delà du domaine des nombres transfinis très

grands, qui est leur objet immédiat : on peut montrer que chacun d’entre

e u x , s o u s l a s u p p o s i t i o n d e s a c o n s i s t a n c e , a c c r o î t l e n o m b r e d e s

p r o p o s i t i o n s d é c i d a b l e s m ê m e d a n s l e d o m a i n e d e s é q u a t i o n s

diophantiennes. » [What Is Cantor’s Continuum Problem ? (1947) : PM, 477]

Les axiomes en question peuvent donc manifester leur fécondité dans des

domaines divers qui sont parfois très éloignés de celui dont ils traitent

directement. Gödel considère que la théorie des ensembles est confirmée

9

par ses conséquences dans l’arithmétique, en un sens que l’on peut

comparer à celui auquel la physique est confirmée par la perception

sensorielle. Mais le problème est que, si les axiomes dont il parle se

trouvent ainsi légitimés indirectement, ils offrent, en revanche, peu d’espoir

de parvenir à une décision concernant l’hypothèse du continu elle-même.

D’après Wang, Gödel a dit, dans une conversation du 3 mars 1948 avec

Carnap, que Leibniz avait « apparemment obtenu [apparently had

obtained] » une méthode de décision pour les mathématiques [RKG, 173].

C’est sans doute ce que Leibniz croyait. Mais que peut bien vouloir dire une

assertion de cette sorte, et en particulier l’expression « avait apparemment

obtenu » dans la bouche de quelqu’un comme Gödel ? Elle peut sembler

d’autant plus étonnante que, d’après les notes de Carnap, dans une

conversation du 23 décembre 1929, qui est par conséquent antérieure à la

d é m o n s t r a t i o n d e s o n t h é o r è m e , G ö d e l d i t , e n f a i s a n t r é f é r e n c e à

Brouwer : « Les mathématiques sont inépuisables : on doit toujours puiser

à n o u v e a u à l a “source de l’intuition”. Il n’y a par conséquent pas de

Characteristica universalis pour la totalité des mathématiques, et pas de

procédure de décision pour la totalité des mathématiques. » [RKG, 50] Cela

n’e m p ê c h e p a s f o r c é m e n t , b i e n e n t e n d u , q u’il puisse y avoir une

Characteristica universalis pour certaines parties des mathématiques et que

le programme de Leibniz puisse rester, de ce point de vue et dans ces

limites, tout à fait actuel.

10

Gödel était, cela va sans dire, mieux placé que quiconque pour savoir qu’il

ne peut pas y avoir dans les mathématiques de procédure de décision

générale qui opère à la façon d’une machine, même si Leibniz lui-même

pouvait encore croire ce genre de chose et l’a probablement cru. « Les

vérités qui ont encore besoin d’être bien établies sont, dit-il, de deux

sortes, les unes ne sont connues que confusément et imparfaitement, et

les autres ne sont point connues du tout. Pour les premières, il faut

employer la méthode de la certitude ou l’art de démontrer, les autres ont

besoin de l’art d’inventer. Quoique ces deux arts ne diffèrent pas tant qu’on

croit, comme il paraîtra dans la suite. » [PS VII, 183] Mais on peut avoir

l’impression que l’effet d’u n e d é c o u v e r t e c o m m e c e l l e d e G ö d e l e s t

justement de démontrer qu’ils diffèrent, au contraire, bien plus qu’on ne le

croit. L’idéal de la « pureté mécanique » – qui est, pour Leibniz lui-même,

compte tenu de l’idée qu’il se fait de ce que doit être une démonstration

proprement dite, caractéristique de l’art de démontrer – ne semble guère

susceptible de s’adapter aussi à l’art d’inventer, et a fortiori de le favoriser.

Comme le dit Wang, « l’idéal de la formalisation semble aspirer à un type

d’h o m o g é n é i t é ( c o m m e u n e f o r m e d e “pureté”) au niveau qui est

précisément le plus inférieur de l’intelligence. Il est très éloigné d’une

compréhension intuitive de la démonstration, et peut avoir quelque chose à

voir avec l’aspiration à un sens abstrait de la sécurité qui inclut, par

exemple, une protection contre l’oubli, puisqu’il n’y a pas d’étapes qui

soient oubliées dans une démonstration purement formelle. Même si l’on

m e t à p a r t l’exigence de complétude, les systèmes formels possèdent

également cette qualité de “pureté mécanique” qui, cependant, n’aide pas

à l a r e c h e r c h e d e m é t h o d e s p l u s p u i s s a n t e s p o u r d é m o n t r e r d e s

théorèmes » [RKG, 173]. Il y a certainement, chez Leibniz, une tension

constante entre le désir de la sécurité maximale, qu’il trouve, à la différence

de Descartes, dans la formalité elle-même, et un autre désir, au moins

aussi puissant, qui est celui de l’inventivité maximale.

11

Dans une conversation du 15 mars 1972 avec Wang, Gödel dit : « En 1678,

Leibniz a formulé la revendication de la caractéristique universelle. Pour

l’essentiel, elle n’existe pas : toute procédure systématique pour résoudre

des problèmes de toutes les espèces doit être non mécanique. » Et, bien

entendu, même une procédure mécanique ne comporte pas la garantie du

succès universel, puisqu’il subsiste la question de savoir si la procédure

aboutira ou non dans tous les cas à un terme. Gödel est cependant si

impressionné par ce que Leibniz dit à propos de la possibilité de traiter un

jour tous les problèmes, y compris ceux de la métaphysique, d’une façon

que l’on peut qualifier de « mathématique », qu’il écrit dans un article de

1951, « Some Basic Theorems on the Foundations of Mathematics and Their

Applications » : « J’ai l’impression qu’après une clarification suffisante des

concepts qui sont en question il sera possible de mener ces discussions

avec une rigueur mathématique et que le résultat sera alors que (sous

certaines assomptions qui peuvent difficilement être niées [en particulier,

l’assomption qu’il existe tout simplement quelque chose comme la

connaissance mathématique]) la conception platonicienne est la seule qui

s o i t t e n a b l e . P a r l à , j’entends la conception selon laquelle les

m a t h é m a t i q u e s d é c r i v e n t u n e r é a l i t é n o n s e n s i b l e q u i e x i s t e

indépendamment à la fois des actes et des dispositions de l’esprit humain,

et est seulement perçue, et probablement perçue de façon très incomplète,

par l’esprit humain. » [CW III, 322-3] Le fait que Leibniz lui-même ait sur la

question du statut des entités mathématiques et des objets abstraits en

général une position qui est bien plus proche du nominalisme que du

réalisme platonicien est une chose que Gödel semble ou bien avoir ignorée

ou bien avoir décidé de considérer comme tout à fait secondaire.

12

2. La question des fondements et le problème de

l’invention mathématique

D’après Wang, la position de Gödel semble être que, là où il n’existe pas de

méthode de décision mécanique, il pourrait peut-être exister néanmoins

une méthode de décision non mécanique, une méthode qui n’est pas

complètement spécifique et qui ne décide pas formellement les questions,

mais donne des indications sur ce que le mathématicien doit faire pour

parvenir à les décider. Gödel pense apparemment à une méthode qui

permettrait d’arriver à la formulation de nouveaux axiomes en plus de ceux

dont on dispose déjà, ce qui ne peut évidemment pas être fait par une

machine, mais donnerait au mathématicien des directives suffisantes sur la

façon dont il doit s’y prendre pour résoudre les problèmes. Une note

fameuse du mémoire de 1931 explique que la vraie raison de l’indécidabilité

inhérente à tous les systèmes formels des mathématiques réside dans le

fait que la formation de types logiques toujours plus élevés peut être

continuée jusque dans le transfini. Les propositions indécidables à un

certain niveau deviennent décidables toutes les fois que des types plus

é l e v é s s o n t a j o u t é s . L a c o n c l u s i o n q u e G ö d e l t i r e d e s r é s u l t a t s

d’indécidabilité n’est donc pas du tout, comme on le croit souvent, une

incitation à renoncer, mais plutôt une indication concernant le genre de

chose que nous devons faire pour pouvoir espérer parvenir à une décision.

13

Comme le remarque Wang, l’histoire des mathématiques elle-même offre de

nombreux exemples de cas dans lesquels l’invention d’un nouveau système

ou d’un nouveau calcul, comme par exemple la géométrie analytique ou le

calcul différentiel et intégral, rend beaucoup plus facile et systématique la

résolution de toute une classe de problèmes. Dans chacun des cas de cette

s o r t e , d e s t e n t a t i v e s e t d e s c o n j e c t u r e s a u h a s a r d s e m b l e n t ê t r e

remplacées par un certain type de méthode systématique plus contrôlable.

« Leibniz, se demande Wang, pouvait-il chercher une méthode générale de

cette sorte qui s’appliquerait à la totalité des mathématiques ? » [RKG, 174]

Leibniz a certainement rêvé d’une méthode de ce genre, et même d’une

méthode qui permettrait de décider par le simple calcul une multitude de

questions qui n’ont à première vue rien de mathématique. Mais ce qui est

surprenant est la façon dont Gödel semble avoir pris cette idée au sérieux.

À la fin de son article sur « La logique mathématique de Russell », il écrit :

« Il n’y a pas de raison d’abandonner tout espoir. Leibniz, dans ses écrits

sur la Characteristica universalis, ne parlait pas d’un projet utopique ; si

nous devons croire ce qu’i l d i t , i l a v a i t d é v e l o p p é s o n c a l c u l d u

raisonnement dans une large mesure, mais attendait pour le publier que la

semence puisse tomber sur un sol fertile. Il est même allé jusqu’à estimer le

temps qui serait nécessaire pour que son calcul soit développé par un petit

nombre de scientifiques choisis jusqu’à u n p o i n t t e l “que l’humanité

disposerait d’une nouvelle espèce d’instrument augmentant les pouvoirs de

la raison beaucoup plus qu’un instrument optique quelconque n’a jamais

aidé le pouvoir de la vision”. Le temps qu’il indique est cinq ans, et il affirme

que sa méthode n’est en aucune façon plus difficile à apprendre que les

mathématiques ou la philosophie de son époque. De plus, il a dit de façon

répétée que, même dans l’état rudimentaire où il avait développé la théorie

lui-m ê m e , e l l e é t a i t r e s p o n s a b l e d e t o u t e s s e s d é c o u v e r t e s

m a t h é m a t i q u e s ; c h o s e q u e , p o u r r a i t-o n e s p é r e r , m ê m e P o i n c a r é

reconnaîtrait comme une preuve suffisante de sa fécondité. » [PM, 469]

14

Aussi surprenant que cela puisse paraître aujourd’hui, l’intérêt de Gödel

pour la question des fondements des mathématiques était, comme celui de

Hilbert, motivé fortement par la croyance que des progrès fondamentaux

dans ce domaine produiraient d’une certaine façon une révolution dans tout

le domaine des mathématiques (des mathématiques pures, en tout cas).

Cela n’est pas sans rapport avec la façon dont il comprend Leibniz. Dans

l’histoire de la logique, Leibniz est l’auteur d’un nombre considérable

d’anticipations et d’innovations conceptuelles et techniques qui font de lui

le véritable père de la logique moderne et qui ont été maintes fois

étudiées. Mais ce n’est pas cela qui est le plus important aux yeux de

Gödel. C’est plutôt le fait que Leibniz s’est attaqué au problème des

fondements d’une façon qui était susceptible de révolutionner et qui a

effectivement révolutionné les mathématiques elles-mêmes. Gödel pensait

que les progrès les plus décisifs dans le domaine de la pensée proviennent

toujours d’un gain réalisé dans la compréhension des choses les plus

simples et les plus fondamentales. Et on peut remarquer que c’est toujours

à des questions d’une espèce réellement fondamentale qu’il s’est lui-même

attaqué, avec les succès que l’on sait. Or, en ce qui concerne les effets qu’il

attendait de cela pour les mathématiques elles-mêmes, on peut constater,

comme le fait Wang, que le résultat a été plutôt décevant. « Le travail de

Gödel a eu, écrit-il, peu d’effet sur la pratique de la recherche et la

conception des mathématiques de la plupart des mathématiciens. De façon

surprenante, l’incidence la plus grande concerne davantage des questions

conceptuelles qui ont trait aux ordinateurs et à la mécanisation, qui sont

une préoccupation centrale de la technologie du moment. » [RKG, 168] Ce

n’est évidemment pas tout à fait ce dont rêvait Gödel. Il ne semble pas, en

15

tout cas, s’être intéressé personnellement au développement réel des

ordinateurs.

I « … nec tantum

obtinebunt, dum stabit

Mundus, sed etiam

obtinuissent si DEUS alia

ratione (…)

Wang note qu’e n c e q u i c o n c e r n e l e d é v e l o p p e m e n t d e l a l o g i q u e

mathématique il y a deux idées de Leibniz qui se sont révélées être d’une

importance centrale. La première est la caractérisation des vérités de

raison comme étant les vérités qui sont vraies dans tous les mondes

possibles. C’est, dit-il, une conception qui s’applique aussi bien aux

tautologies du calcul propositionnel, telles qu’elles sont comprises et

traitées par Wittgenstein dans le Tractatus, qu’à la notion plus générale de

proposition logiquement valide ou logiquement vraie dans le calcul des

prédicats du premier ordre. Il semble y avoir là, en fait, un malentendu

historique assez curieux, puisque Leibniz, à ma connaissance, n’a dit nulle

part littéralement que les vérités de raison pouvaient être définies comme

les vérités qui sont vraies dans tous les mondes possibles. Ce qui se

rapproche le plus de cette idée est sans doute les passages dans lesquels

il souligne que Dieu aurait pu assurément créer un monde pourvu de lois

physiques, mais pas de lois logiques et mathématiques, différentes. On

peut dire des vérités nécessaires, qui ont trait uniquement à l’essence et à

la possibilité, qu’« elles seront valides non seulement tant que le monde

subsistera, mais auraient été valides également si Dieu avait créé le Monde

d’une autre façon I » [OFI, 18].

16

Je ne sais pas qui a attribué le premier à Leibniz la paternité de la définition

de la vérité logique comme étant la vérité dans tous les mondes possibles.

Mais c’est un fait remarquable que les créateurs de la sémantique logique

ont présenté spontanément leur définition de la validité logique par la

vérité dans toute interprétation du système formel ou du calcul comme un

équivalent de ce que Leibniz devait entendre par la « vérité dans tous les

mondes possibles » : « Une classe de propositions dans [le langage] S1,

qui contient pour toute proposition atomique ou bien cette proposition, ou

b i e n s a n é g a t i o n , e t p a s d’autres propositions, est, explique Carnap,

a p p e l é e u n e “description d’état [state-description]”, parce qu’elle donne

évidemment une description complète d’un état possible de l’univers des

individus relativement à toutes les propriétés et relations exprimées par les

prédicats du système. De ce fait, les descriptions d’état représentent les

m o n d e s p o s s i b l e s d e L e i b n i z o u l e s é t a t s d e c h o s e s p o s s i b l e s d e

Wittgenstein. 1 » Cette transposition de la notion leibnizienne de monde

possible s’appuie évidemment sur une analogie réelle. Mais il y a également

une différence importante qui ne l’est pas moins. Une description d’état

carnapienne fixe simplement un comportement donné de tous les individus

du monde particulier dans lequel on se situe par rapport à toutes les

propriétés et relations dont il est question dans le système. Un monde

possible leibnizien est déterminé, en revanche, par l’existence d’une classe

d’individus qu’il ne partage avec aucun autre (un individu n’appartient

jamais qu’à un seul et unique monde possible) et qui sont tels qu’il peut

être reconstruit en totalité à partir du concept complet de n’importe lequel

d’entre eux. « Vrai dans tous les mondes possibles », au sens de Leibniz,

ne coïncide donc pas, c’est le moins qu’on puisse dire, avec « vrai dans

toutes les descriptions d’état », au sens de Carnap.

17

L’autre idée importante que les logiciens modernes ont pu trouver chez

Leibniz est l’insistance sur les « arguments formels », ou comme il dit les

« argumenta in forma », qui sont mécaniquement testables et, selon une

expression, que lui-m ê m e u t i l i s e , « infaillibles ». P a r l a n t d e l a

Caractéristique universelle, il écrit : « Les hommes trouveraient par là un

juge des controverses vraiment infaillible. Car ils pourraient toujours

connaître s’i l e s t p o s s i b l e d e d é c i d e r l a q u e s t i o n p a r l e m o y e n d e s

connaissances qui leur sont déjà données, et lorsqu’il n’est pas possible de

se satisfaire entièrement ils pourront toujours déterminer ce qui est le plus

vraisemblable. Comme dans l’arithmétique on peut toujours juger s’il est

possible ou non de deviner exactement le nombre que quelque personne a

dans la pensée sur ce qu’elle nous en a dit, et souvent on peut dire : cela

doit être l’un de deux ou de trois, etc. tels nombres, et prescrire des bornes

à la vérité inconnue. En tout cas, il importe au moins de savoir que ce qu’on

demande n’est pas trouvable par les moyens que nous avons. » [OFI, 26]

18

L’exigence de formalité a reçu une attention de plus en plus grande au

cours du XIXe siècle et elle a conduit finalement à la construction de

systèmes formels pour différents domaines majeurs des mathématiques.

Mais il a fallu attendre encore un peu plus, en fait jusqu’à la fin des années

1920, pour que la question qu’évoque Leibniz dans la dernière phrase, à

savoir celle de la complétude et de la décidabilité, formulée à propos des

systèmes formels eux-mêmes, soit posée explicitement et résolue. Ce qui

pourrait ressembler ici à une sorte de paradoxe est le fait que ce soit

précisément Gödel qui a contribué de la façon la plus décisive à tempérer ce

qu’on pourrait appeler l’enthousiasme leibnizien en démontrant un certain

nombre de résultats négatifs essentiels sur les possibilités des systèmes

formels. Dans tout cela, bien sûr, une incertitude demeure sur ce qu’il faut

entendre ici exactement par la notion de procédure formelle ou mécanique.

C’est seulement après la découverte de Gödel que Turing a réussi à clarifier

en 1936 ce que l’on veut dire lorsqu’on parle d’une procédure mécanique

19

ou d’un algorithme. Gödel a toujours considéré ce qu’a fait sur ce point

Turing comme une découverte majeure et exemplaire ; et on pourrait être

tenté de considérer qu’elle permet d’appréhender pour finir avec une

précision complète et définitive l’essence de ce que Leibniz entendait par

un « argument formel ».

Les historiens de la philosophie, toujours soucieux d’éviter les projections

anachroniques, diraient sans doute que ce qui est en question chez

Leibniz, lorsqu’il parle de procédures de décision qui opèrent uniquement

sur des symboles ou des combinaisons de symboles et qui peuvent être

appliquées de façon mécanique et infaillible, n’est pas tout à fait la même

chose que ce que l’on entend aujourd’hui par là et pourrait même être

sérieusement différent. Et il est probablement vrai qu’il faut résister à la

tentation de faire de Leibniz un formaliste ou un mécaniste enthousiaste et

naïf qui n’était simplement pas encore averti de ce que nous savons depuis

Gödel. Mais il faut remarquer que Gödel lui-même avait sur l’histoire des

concepts une idée qui n’est pas celle des historiens de la philosophie et

probablement pas non plus, du reste, la nôtre en général. Il pensait que,

dans ce cas-là comme dans beaucoup d’autres, Turing nous a seulement

permis d’accéder à une perception plus distincte d’un concept qui pouvait

très bien être déjà celui de Leibniz. Ce qui a changé n’est pas pour lui le

concept, qui était là depuis le début, mais la perception que nous en avons.

20

Il convient ici de souligner à quel point Leibniz aurait trouvé étrange la

séparation et même parfois l’incompréhension caractérisée qui semblent

s’être instaurées aujourd’hui entre la logique et les mathématiques.

C o n t r a i r e m e n t à c e q u’e s p é r a i t G ö d e l , b i e n d e s m a t h é m a t i c i e n s

contesteraient sans doute aujourd’hui que le théorème de Gödel ait quoi

que ce soit à voir avec les mathématiques proprement dites. Pourtant,

lorsque Gödel fut fait docteur honoris causa de l’université de Harvard en

1952, il fut présenté comme « le découvreur de la vérité mathématique la

plus importante du siècle », une manière de décrire ce qu’il avait fait qu’il

apprécia particulièrement. La façon actuelle de concevoir les relations entre

les mathématiques et la logique ne correspond évidemment pas beaucoup

à l’idée qu’il s’en faisait, mais elle correspond évidemment encore moins à

celle de Leibniz.

21

Je ne pense pas ici au fait que Leibniz a été traité souvent comme un des

grands précurseurs du logicisme, autrement dit de la doctrine selon laquelle

les mathématiques sont simplement une branche de la logique, mais plutôt

au fait qu’il considérait manifestement comme futile la volonté de faire

passer une ligne de démarcation stricte entre les mathématiques et la

logique. Dans les Nouveaux essais, Théophile se livre à une apologie si

convaincante du syllogisme que Philatèthe lui-même finit par lui dire : « Je

commence à me faire une tout autre idée de la logique que je n’en avais

autrefois. Je la prenais pour un jeu d’écolier, et je vois maintenant qu’il y a

c o m m e u n e m a t h é m a t i q u e u n i v e r s e l l e , d e l a m a n i è r e q u e v o u s

l’entendez. » [NE, 432] « Dans toutes les sciences infaillibles, écrit Leibniz,

lorsqu’elles sont démontrées exactement, sont pour ainsi dire incorporées

des formes logiques supérieures qui, pour une part découlent des formes

aristotéliciennes, pour une autre recourent en plus à autre chose. » [PS VII,

519] Il n’en est pas moins vrai que les règles du syllogisme, que Leibniz

compare à celles de l’arithmétique des petits nombres, sont les règles

élémentaires que l’on doit impérativement connaître avant de passer à des

règles d’inférence plus compliquées.

22

D’A r i s t o t e , q u i a e u l e m é r i t e é m i n e n t d e s o u m e t t r e l e s f o r m e s

syllogistiques à un petit nombre de lois infaillibles, il dit, d’une façon qui a

de quoi surprendre un lecteur habitué à voir les choses à la façon de

Descartes et de ses héritiers modernes, qu’il a été, de ce fait, « le premier

qui ait écrit mathématiquement en dehors des mathématiques » [ibid.].

Écrire mathématiquement en dehors des mathématiques voulait dire,

justement, écrire sur des sujets qui ne sont pas mathématiques, et

peuvent même être quelconques, sous forme d’argumenta in forma. « Il faut

savoir, écrit Leibniz, que par les arguments en forme, je n’entends pas

seulement cette manière scolastique d’argumenter dont on se sert dans les

collèges, mais tout raisonnement qui conclut par la force de la forme, et où

l’on n’a besoin de suppléer aucun article, de sorte qu’un sorite, un autre

tissu de syllogisme qui évite la répétition, même un compte bien dressé, un

calcul d’algèbre, une analyse des infinitésimales me seront à peu près des

a r g u m e n t s e n f o r m e , p a r c e q u e l e u r f o r m e d e r a i s o n n e r a é t é

prédémontrée, en sorte qu’on est sûr de ne s’y point tromper. » [NE, 425]

23

Savoir si la réunification doit s’effectuer finalement au profit de la logique

ou, au contraire, des mathématiques, c’est-à-dire de ce que Leibniz appelle

une mathématique universelle, a une importance qui est évidemment

beaucoup plus symbolique que réelle. Historiquement parlant, la raison

pour laquelle Leibniz ne peut songer à maintenir une distinction stricte

entre les mathématiques et la logique est assez claire. On a tendance à

concevoir les mathématiques comme une théorie qui fournit le moyen de

calculer sur des nombres (et éventuellement des objets d’une autre

espèce) et la logique comme une théorie qui s’occupe de formuler les règles

24

3. Le programme leibnizien et la question des

« limitations internes » des formalismes

d e l a d é d u c t i o n c o r r e c t e . M a i s , p o u r L e i b n i z , c e t t e d i s t i n c t i o n n’est

qu’apparente, puisqu’il est probablement le premier à avoir souligné

explicitement que toute déduction est un calcul et, inversement, que tout

calcul, lorsqu’il est réellement mis en forme, se présente comme une

déduction, ce que montre clairement la démonstration qu’il donne de « 2

+ 2 = 4 » dans les Nouveaux essais. Wang, qui fait référence au passage

que j’ai cité sur le syllogisme, note que « les exemples montrent que la

conception de Leibniz incluait (ce qu’on appelle aujourd’hui) le traitement

de données et les manipulations de symboles non numériques » [RKG,

263]. C’est tout à fait évident. Mais il faut ajouter que Leibniz montre aussi

comment un bon nombre de calculs non numériques, à commencer par celui

du syllogisme lui-même, pourraient être transformés assez facilement en

calculs numériques. Comme le remarque Wang, Leibniz et Hilbert avaient

déjà suggéré tous les deux de remplacer les concepts ou les expressions

par des nombres. Et on se demande parfois si Gödel s’est inspiré aussi de

Leibniz pour l’invention de sa technique de numérotation des symboles et

des expressions. Je ne connais pas vraiment la réponse. Mais ce qui est

clair est que ce qui est réellement nouveau chez Gödel n’est pas l’idée de

remplacer les concepts ou les expressions par des nombres mais le fait

d’avoir développé systématiquement cette idée et surtout de l’avoir

appliquée à la représentation de concepts et de relations syntaxiques

cruciaux comme par exemple la notion de démontrabilité elle-même,

autrement dit d’avoir conçu l’i d é e d’une arithmétisation possible de la

syntaxe.

Peu avant la fin de son article sur « La logique mathématique de Russell »,

Gödel se réfère à nouveau implicitement à Leibniz, lorsqu’il essaie de

répondre à la question de savoir si les axiomes des Principia Mathematica

peuvent être considérés comme analytiques. On pourrait, selon lui,

distinguer deux sens du mot « analytique » : « En premier lieu, écrit-il, il

peut avoir le sens purement formel selon lequel les termes qui

apparaissent peuvent être définis (soit explicitement, soit par des règles

qui permettent de les éliminer des phrases qui les contiennent) d’une

manière telle que les axiomes et les théorèmes deviennent des cas

spéciaux de la loi d’identité et que les propositions réfutables deviennent

des négations de cette loi. En ce sens, on peut démontrer que même la

théorie des entiers n’est pas analytique, pour peu que l’on exige des règles

d’élimination qu’elles permettent d’effectuer réellement l’élimination en un

nombre fini d’étapes dans chaque cas. » [PM, 467] La raison de cela est

que, comme on le sait depuis Turing, si ce genre de chose était possible,

cela impliquerait l’existence d’u n e p r o c é d u r e d e d é c i s i o n p o u r l e s

propositions arithmétiques. Si l’on admet des réductions infinies, avec des

propositions intermédiaires de longueur infinie (ce qui correspond à la façon

d o n t L e i b n i z s e r e p r é s e n t e l a d é m o n s t r a t i o n d e s p r o p o s i t i o n s

contingentes), alors on peut montrer que tous les axiomes des Principia

sont analytiques pour certaines interprétations ; mais la démonstration

exige, remarque Gödel, « la totalité des mathématiques telle qu’elle est

appliquée à des phrases de longueur infinie […], par exemple, on peut

démontrer que l’axiome du choix est analytique, mais uniquement si on

l’assume comme vrai » [ibid.].

25

Ce concept de l’analyticité au premier sens est clairement inspiré de l’idée

leibnizienne que le propre des vérités logiques et mathématiques et des

vérités de raison en général est d’être réductibles à des identités explicites

par une suite finie d’opérations consistant à substituer l’u n à l’autre la

définition et le défini dans une proposition. En même temps, il pourrait

s e m b l e r q u e c e q u e d i t G ö d e l i l l u s t r e a v a n t t o u t l e c a r a c t è r e

dramatiquement insuffisant des moyens qui, selon Leibniz, suffisent à la

démonstration de toutes les vérités nécessaires. Mais il y a, heureusement,

un deuxième sens, plus large, du mot « analytique », et dont on peut se

demander s’il n’est pas au fond, lui aussi, leibnizien et même peut-être plus

proprement leibnizien. C’est le sens auquel une proposition est dite

« analytique » si elle est vraie « en vertu de la signification des concepts

qui y figurent », cette signification pouvant être elle-même indéfinissable

(c’est-à-dire, irréductible à quoi que ce soit de plus fondamental). Gödel

accepte l’idée que les propositions mathématiques, y compris celles de la

théorie des ensembles, sont analytiques, si cela veut dire qu’elles sont

vraies en vertu de la signification des concepts qu’elles contiennent, mais

évidemment pas si cela veut dire qu’elles sont vraies en vertu de règles ou

de conventions concernant la signification des symboles. Il note que « cette

conception concernant l’analyticité rend à nouveau possible pour toute

proposition mathématique l’éventualité d’être peut-être réduite à un cas

spécial de a = a, à savoir si la réduction est effectuée non pas en vertu des

définitions des termes qui apparaissent mais de leur signification, qui ne

p e u t j a m a i s ê t r e e x p r i m é e d a n s u n e n s e m b l e d e r è g l e s

formelles » [Russell : PM, 468, note 33].

26

Cela semble à première vue peu leibnizien, puisque Leibniz exige de toutes 27

les propositions mathématiques (vraies), y compris les axiomes de l’espèce

usuelle, qu’elles soient réductibles à des identités explicites et le soient par

l’intermédiaire de définitions. Mais, bien entendu, il ne suggère pas que

nous disposons d’ores et déjà pour tous les cas des bonnes définitions,

celles qui nous permettraient d’effectuer réellement la réduction ; et il

n’exclut pas non plus forcément que nous puissions être obligés d’ajouter

indéfiniment de nouvelles définitions sans réussir à épuiser par là la

signification des termes concernés. Une définition, une fois qu’elle a été

obtenue, peut être utilisée dans le processus de réduction comme une

règle formelle, et c’est de cette façon qu’elle doit l’être. Mais rien n’est dit

par là sur la façon dont nous pouvons parvenir, en raisonnant cette fois à

partir de la signification, aux bonnes définitions et pas non plus sur la

possibilité que la signification ne puisse jamais, dans certains cas, être

épuisée par une liste quelconque de règles formelles.

Dans un texte de 1972, « Some Remarks on the Undecidability Results »,

Gödel propose ce qu’il appelle « une autre version du premier théorème

d’indécidabilité », qui prend la forme suivante : « La situation peut être

caractérisée par le théorème suivant : pour résoudre tous les problèmes du

type Goldbach d’un certain degré de complexité k, on a besoin d’un

système d’axiomes dont le degré de complication, à une correction mineure

près, est ≥ k (le degré de complication étant ici mesuré par le nombre de

symboles nécessaire pour formuler le problème [ou le système d’axiomes],

en y incluant, bien entendu, les symboles qui figurent dans les définitions

d e s t e r m e s n o n p r i m i t i f s u t i l i s é s ) . O r t o u t e s l e s m a t h é m a t i q u e s

d’aujourd’h u i p e u v e n t ê t r e d é r i v é e s d’u n e p o i g n é e d’axiomes simples

portant sur un très petit nombre de termes primitifs. Par conséquent, même

si ne doivent être résolubles que les problèmes qui peuvent être formulés

en un petit nombre de pages, le petit nombre d’axiomes simples que nous

utilisons aujourd’hui devra être complété par un grand nombre d’axiomes

nouveaux ou par des axiomes d’une grande complication. On peut douter

que des axiomes évidents en aussi grand nombre (ou d’une complication

aussi grande) puissent tout simplement exister, et par conséquent le

théorème mentionné pourrait être pris comme une indication de l’existence

de questions mathématiques du type oui ou non qui sont indécidables pour

l’esprit humain. Mais ce qui parle contre cette interprétation est le fait qu’il

existe des séries inexplorées d’axiomes qui sont analytiques en ce sens

qu’ils ne font qu’expliciter le contenu des concepts qui y figurent (par

exemple les axiomes de l’infini dans la théorie des ensembles), qui

assertent l’existence d’ensembles de cardinalité de plus en plus grande ou

de types transfinis de plus en plus élevés et qui ne font qu’expliciter le

contenu du concept général d’ensemble. Ces principes montrent qu’un

nombre toujours plus grand d’axiomes (et d’axiomes toujours plus

compliqués) apparaît au cours de l’évolution des mathématiques. Car, ne

serait-ce que pour comprendre les axiomes de l’infini, on doit d’abord avoir

développé dans une mesure considérable la théorie des ensembles. » [CW

III, 306 ; cf. Cantor : PM, 476-7]

28

Un équivalent de cela, dans la conception que Leibniz a de la situation,

serait peut-être le suivant. Supposons que, comme nous devrions en

théorie le faire d’après lui, nous n’acceptions comme axiomes, au sens

strict, que des propositions qui ont la forme d’identités explicites, partielles

ou totales. Dans ce cas, toute la créativité et la capacité de décision du

système se reportent sur les définitions elles-mêmes. Et nous pouvons être

a m e n é s , b i e n e n t e n d u , à a d o p t e r u n n o m b r e d e p l u s e n g r a n d d e

définitions et de définitions de plus en plus compliquées pour les termes

utilisés. Une fois adoptées, ces définitions viendront s’ajouter dans les

déductions, comme des vérités primitives supplémentaires, aux axiomes du

système. Mais il est essentiel de remarquer que, pour Leibniz, même si elle

est utilisée du point de vue formel comme une convention d’abréviation,

une définition comporte toujours initialement une assertion implicite de

possibilité. Gödel dit que les axiomes mathématiques, même s’ils sont

analytiques, doivent avoir un contenu réel, parce que « l’existence même

du concept de “classe”, par exemple, constitue déjà un axiome de cette

sorte ; puisque, si on définissait, par exemple, “classe” et “∈” comme étant

“les concepts qui satisfont les axiomes”, on serait incapable de démontrer

leur existence » [Russell : PM, 468, 33n]. On peut faire une constatation du

même genre à propos des définitions leibniziennes, puisque ce qui

correspond pour les concepts à l’existence pour les individus – à savoir la

possibilité (ou, comme dit aussi Leibniz, la vérité) du terme considéré – y

est impliqué.

29

Sur la question de la vérité des axiomes, Gödel dit en fait deux choses à

première vue très différentes, dont on peut se demander si elles n’ont pas

aussi un équivalent chez Leibniz. « Il peut, écrit-il, y avoir des axiomes qui

abondent à un point tel dans leurs conséquences vérifiables, qui jettent

t e l l e m e n t d e l u m i è r e s u r u n d o m a i n e e n t i e r e t q u i f o u r n i s s e n t d e s

méthodes tellement puissantes pour résoudre les problèmes (et même

pour les résoudre de façon constructive, pour autant que c’est possible)

que, quoi qu’il en soit de la question de savoir s’ils sont ou non

intrinsèquement nécessaires, ils devraient être acceptés au moins dans le

30

même sens que n’importe quelle théorie physique bien établie. » [Cantor :

PM, 477] Autrement dit, Gödel reconnaît volontiers, à côté de l’intuition

mathématique, l’existence et l’importance d’un autre critère, que l’on peut

qualifier de « pragmatique », pour la vérité des axiomes. La même dualité

se retrouve certainement de façon typique chez Leibniz, avec d’un côté

l’idée que tous les axiomes devraient en principe pouvoir être réduits par

l’analyse des concepts à des identités explicites, qui constituent les seules

propositions qui soient absolument certaines et évidentes, et de l’autre le

pragmatisme en ce qui concerne la question de l’acceptabilité des axiomes

dans la pratique réelle du mathématicien. Une bonne partie des axiomes

qu’utilisent les mathématiciens appartiennent, pour Leibniz, à une catégorie

intermédiaire : ce ne sont pas des identités explicites, ils n’ont pas de

nécessité intrinsèque qui puisse être aperçue clairement ou rendue

manifeste par la seule analyse des concepts qu’ils impliquent, et ils ne sont

justifiés, pour l’essentiel, que de la deuxième des façons que distingue

G ö d e l . L e i b n i z e s t , p o u r r a i t-on dire, un praticien beaucoup trop

remarquable en mathématiques pour trouver cette situation anormale ou

inquiétante. Mais il y a un point sur lequel il est certainement beaucoup plus

optimiste que nous ne pouvons nous permettre de l’être aujourd’hui. Il

pense que tous les axiomes authentiques possèdent par essence ce que

Gödel appelle une nécessité intrinsèque, et que nous devrions pouvoir en

principe la découvrir. Que nous ne l’ayons pas fait jusqu’ici pour certains

d’entre eux, sur la vérité desquels il n’y a en pratique aucun doute

raisonnable, ne menace, bien entendu, en aucune façon la solidité de

l’édifice mathématique. Mais il n’en est pas moins vrai que nous ne devons

pas renoncer à essayer, et pouvons même a priori être certains que c’est

possible, sans quoi on ne saurait tout simplement pas ce qu’on veut dire

quand on dit des axiomes en question qu’ils sont vrais.

J’ai évoqué plus haut la tentation que l’on pourrait avoir, et que l’on a

parfois, de considérer Leibniz comme un formaliste et un mécaniste naïf qui,

d’une part, fait preuve d’un optimisme tout à fait excessif (de notre point de

vue) à propos de ce que l’on peut espérer dans ce domaine et, d’autre

part, ne semble pas suffisamment attentif au risque de trivialisation

complète que semble comporter la perspective d’une formalisation complète

des mathématiques. Du point de vue historique, il est curieux de constater

que, si la complétude syntaxique de l’arithmétique formelle (l’existence,

pour toute proposition, d’une démonstration ou bien de la proposition ellemême,

ou bien de sa négation, dans le système formel concerné) était

attendue par beaucoup de gens, la décidabilité, en revanche, ne l’était pas,

en dépit du fait qu’elle en constitue bel et bien une conséquence logique (la

complétude sémantique, en revanche, n’implique évidemment pas la

décidabilité). De toute évidence, la décidabilité était considérée souvent à

l’époque comme une propriété plus forte que la complétude (Wang voit là

un bon exemple du fait que les croyances ne sont pas fermées par rapport

à la relation de conséquence logique). Il a fallu attendre l’article fameux de

Turing auquel j’ai fait allusion plus haut pour que l’on prenne conscience du

fait qu’un système formel complet est également décidable, puisque, si p ou

sa négation sont démontrables dans le système, une énumération de

toutes les suites de formules qui constituent des candidats possibles au

statut de démonstration de p ou de non-p doit nécessairement se terminer

à un moment donné par l’indication d’une suite de l’une ou de l’autre

espèce qui fournit la réponse à la question posée. Comme l’ont fait

remarquer après coup les historiens de la logique, il est probable que, si on

avait su cela dès le début, on aurait été beaucoup moins enclin à espérer

et un peu plus à redouter la complétude, puisque son existence, si elle

avait été réelle, aurait impliqué celle d’une procédure mécanique qui

garantit la possibilité, au moins en principe (autrement dit, à condition

d’être prêt à attendre suffisamment longtemps), d’obtenir, même pour une

proposition apparemment aussi « résistante » que, par exemple, le

théorème de Fermat, une démonstration de la proposition ou de sa

négation.

31

Leibniz était certainement convaincu d’avoir conçu un système dans lequel il

existe, pour toute proposition nécessaire, une démonstration ou une

réfutation de la proposition, dans un sens qui correspond déjà à la

conception « formelle-computationnelle » q u e n o u s n o u s f a i s o n s

aujourd’hui de la nature de la démonstration. Mais il ne semble pas avoir

jamais perçu ce que nous appellerions la complétude (syntaxique) de son

système comme une chose qui pourrait menacer en quoi que ce soit la

liberté et la créativité des mathématiques. Cela n’a rien de surprenant, si

l’on considère l’idée que l’on se faisait encore le plus souvent, à la fin des

a n n é e s 1920, d e s r e l a t i o n s q u i e x i s t e n t e n t r e l a c o m p l é t u d e e t l a

décidabilité. Et surtout, même s’il pouvait exister un système formel complet

pour les mathématiques dans leur ensemble, on peut penser qu’il y aurait,

de toute façon, encore une différence essentielle à faire entre savoir a priori

que le système contient nécessairement une démonstration ou une

réfutation de la proposition et être capable de trouver effectivement l’une

ou l’autre. Leibniz semble tout à fait étranger à la crainte que suscite

e n c o r e s o u v e n t l e s p e c t r e d e l a f o r m a l i s a t i o n c o m p l è t e e t d e l a

mécanisation, et il ne pense pas du tout que les droits et les privilèges de

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l’imagination mathématique aient réellement quelque chose à craindre de

lui. La découverte d’une procédure de décision « mécanique » ou, en tout

cas, mécanisable pour les mathématiques lui semble constituer avant tout

une des conquêtes les plus précieuses dont puisse rêver l’esprit humain, et

non le genre de dépossession ou d’humiliation dramatiques (Freud dirait

probablement de « blessure narcissique ») a u q u e l o n a t e n d a n c e à

l’identifier lorsqu’on pense que le rôle de l’esprit deviendrait, du même

coup, secondaire et même négligeable. Et il ne semble même pas gêné par

la perspective de l’existence d’une procédure du même genre qui pourrait

être appliquée non plus seulement à l’art de démontrer, mais également à

l’art d’inventer lui-même.

Ce n’est pas seulement, me semble-t-il, parce qu’il ignore encore des

choses essentielles que nous avons apprises depuis, en particulier grâce à

Gödel. C’est aussi parce qu’il a une appréciation plus saine que beaucoup

de nos contemporains de ce qu’est la situation réelle (j’entends par là des

risques, des gains et des pertes réels qu’implique, de façon générale, la

mécanisation des tâches intellectuelles) et parce qu’il est, pour sa part,

également à l’aise et également incomparable dans deux tâches entre

lesquelles il ne perçoit aucune incompatibilité et que personne aujourd’hui,

pour des raisons que l’on comprend aisément, ne semble plus capable de

mener de front : celle de la reconstruction et de la systématisation

logiques, et celle de la création mathématique proprement dite.

33

I « … nec tantum obtinebunt, dum stabit Mundus, sed etiam obtinuissent si DEUS

alia ratione Mundum creâsset.

Notes

1 Rudolf Carnap, Meaning and Necessity. A Study in Semantics and Modal Logic,

The University of Chicago Press, Chicago/Londres, 1956, p. 9. (Signification et

nécessité, traduction par François Rivenc et Philippe de Rouilhan, Gallimard, Paris,

1997, p. 58.)

Note de fin

Référence papier

Jacques Bouveresse, « Utopie et réalité : Leibniz, Gödel et les possibilités de la

logique mathématique », in Essai V – Descartes, Leibniz, Kant, Marseille, Agone

(« Banc d’essais »), 2006, p. 141-165.

Référence électronique

Jacques Bouveresse, « Utopie et réalité : Leibniz, Gödel et les possibilités de la

logique mathématique », in Essai V – Descartes, Leibniz, Kant, Marseille, Agone

(« Banc d’essais »), 2006, [En ligne], mis en ligne le 11 mars 2009, Consulté le 21

décembre 2009. URL : http://agone.revues.org/index216.html

Pour citer cet article

© Agone

Droits d’auteur

Source : Agone. Revue.org